Amerikanische Optionen

Die amerikanischen Optionen können jederzeit bis zum Fälligkeitstag ausgeübt werden. Normalerweise lohnt sich die Ausübung der Option nicht, weil der Wert der Option größer ist, als der Ausübungswert: Basiswert minus Ausübungspreis bei der Call Option bzw. Ausübungspreis minus Basiswert bei einer Put Option. Andererseits, wenn der Optionspreis nicht größer als der Ausübungswert ist, dann kann man die Option ausüben und den Ausübungswert realisieren, also muss der Optionspreis immer größer als der Ausübungswert sein. Dies führt zu einer „Randbedingung“:

Hierbei ist C(t) Preis einer Call-Option im Zeitpunkt t, P Preis einer Put Option, S der Basiswert und K der Ausübungspreis der Option. Hier ist nicht nur der Preis des Basiswertes am Fälligkeitstag entscheidend, sondern auch die Preise dazwischen. Der Erwartungswert von Basispreis in einem zukünftigen Zeitpunkt t ist gleich seinem Forward-Preis:

,    ,   
,    .   

Wir nehmen dabei an, dass die Streuung des Basispreises um den Durchschnittspreis Lognormal mit Standardabweichung ist, wobei σ die Volatilität des Basispreises ist. Eine gute Annäherung dieser Bewegung ist der Binomialbaum:

Angefangen von einem Knoten, bewegt sich der Basispreis mit gleicher Wahrscheinlichkeit entweder um

nach oben, oder um

nach unten. Diese Bewegung hat tatsächlich die beiden wichtigen Eigenschaften: die Volatilität ist σ und der Durchschnittspreis ist wie oben beschrieben. Zum Bestimmen des Optionspreises bewegen wir uns jetzt rückwärts: Am Ausübungstag ist der Preis gleich:

,    .   

Auf allen anderen Knoten ist der Preis gleich

<

,    .   

So bewegen wir uns zurück bis zum Ursprungspunkt, wo wir den gewünschten Optionspreis bekommen.

Preis und Delta

Wie schon oben erwähnt, ist der Preis einer amerikanischen Call oder Put Option immer größer als der gegenwärtige Ausübungswert:

,

Andererseits ist der Preis einer amerikanischen Option immer größer oder gleich dem Preis einer gleichen europäischen Option, d.h.

, .

Die obere Grenze wird bei der Call Option beim Ausübungspreis gleich Null erreicht und bei der Put Option ist es der Preis mit dem Basispreis gleich Null. Insgesamt gilt dann

, .

Der Grenzwert für Delta, wenn die Volatilität strebt gegen Null ist für eine Call Option

Wenn die Volatilität strebt gegen das Unendliche, dann strebt auch Delta gegen 1.

Bei einer Put Option ist der Grenzwert für Delta für Volatilität gegen Null

Für sehr große Volatilitäten strebt Delta einer Put Option gegen Null.

Bei den amerikanischen Aktienoptionen machen wir am Tag der Dividendenzahlung einen Knick nach unten in der Höhe der Dividende. Alles andere bleibt gleich.

Hier ist der Kalkulator für die Optionspreise: